Παρασκευή 22 Φεβρουαρίου 2013

▪ Τρύπια Δεξαμενή

Ένας υδατόπυργος/δεξαμενή τροφοδοτείται με νερό, με σταθερό ρυθμό: 1 λίτρο ανά δευτερόλεπτο. Για κάθε 100 λίτρα νερού που υπάρχουν στη δεξαμενή όμως, διαρρέει νερό με ρυθμό 1 λίτρο ανά δευτερόλεπτο. Αρχικά η δεξαμενή είναι άδεια. Σε πόσο χρόνο θα γεμίσει η δεξαμενή με 50 λίτρα νερό;

AΠΑΝΤΗΣΗ:  
Έστω Vt  = Ο όγκος νερού στη δεξαμενή στο χρόνο t.
Για στοιχειώδη μεταβολή χρόνου tt ισχύει:
Vtt = Vt + 1*Δt - (Δt/100)*Vt.  
1*Δt είναι ο ρυθμός εισαγωγής νερού (1 λτ/sec), και (Δt/100)*Vt  είναι ο ρυθμός εξαγωγής νερού (1λτ/sec/100 λτ)
Μια διαφορική εξίσωση (παρά την τρομερή της φήμη) είναι μια κανονική εξίσωση ,που σαν άγνωστη μεταβλητή δεν έχει μια τιμή (π.χ x) αλλά μία συνάρτηση ,στην περίπτωσή μας τη συνάρτηση Vt , δηλαδή τη συνάρτηση μεταβολής του όγκου νερού που συσσωρεύεται στη δεξαμενή συναρτήσει του χρόνου t.
Έτσι έχουμε τη γραμμική πρωτοβάθμια διαφ.εξίσωση:
dv/dt = (Vt - Vtt) / Δt = 1 - V/100.  (=dVεισαγωγής – dVεξαγωγής)
dv = (1 - V/100) dt
100/(100-V) dv = dt
Ολοκληρώνουμε στα δύο μέλη:
-100*ln(100-V)=t + K1
(K1,2,3 είναι κάποιες σταθερές ολοκλήρωσης)
Και μετά από εκθετικοποίηση:
(100-V)-100 = K2 * et
100-V = e-t/100 * K3
V = 100 - K3*e-t/100
Ή
V = 100 - K*e-t/100   
Οι αρχικές συνθήκες, από τις οποίες προσδιορίζουμε την σταθερά K ,είναι: V=0 για t=0, Για V=0 προκύπτει: K=100
Άρα η λύση της διαφορικής εξίσωσης που ψάχνουμε ,δηλαδή η συνάρτηση του όγκου ως προς το χρόνο,  είναι:
V = 100*(1-e-t/100)
Για V=50 προκύπτει  t=100*ln(2) =περίπου 69,3 δευτερόλεπτα.

4 σχόλια:

  1. Καλημέρα!
    Αν και έχω πρόβλημα στις χαμηλές συχνότητες, στις χαμηλές στροφές ο "κινητήρας" μου δεν αποδίδει, θα επιχειρήσω να προσεγγίσω το θέμα.
    Για κάθε 100 λίτρα νερού που υπάρχουν στη δεξαμενή διαρρέει νερό με ρυθμό 1 λίτρο ανά δευτερόλεπτο,
    άρα για κάθε 1 λίτρο νερού στη δεξαμενή διαρρέει νερό με ρυθμό 0,01 lt/sec.
    Άρα για να έχουμε 1lt νερό στη δεξαμενή χρειάζεται τροφοδοσία 1+0,01=1,01lt νερού, συνεπώς για τα 50lt η τροφοδοσία θα είναι 50*1.01=50.50lt, συνεπώς
    t=50.50lt/1lt/sec=50.50 δευτερόλεπτα.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Κύριε Αλεξίου,όχι. Το πρόβλημα δεν μπορεί να αντιμετωπιστεί έτσι. Η απώλεια είναι συνεχής ανα μονάδα όγκου συναρτήσει του χρόνου ,και όχι ανά μονάδα «διακριτού» όγκου εφάπαξ (για το διάστημα 0 ως 50 δηλ, και όχι για V=50)
    Πρέπει να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής του όγκου V στη μονάδα του χρόνου (dV/dt), δηλαδή η συνάρτηση που συνδέει dVεισερχ./dt και dVεξερχόμ/dt , με αρχική συνθήκη V(t=0)=0 , εξού και η ετικέτα «Διαφορικές εξισώσεις»

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  3. Ομολογώ ότι δεν πρόσεξα την ετικέτα και το εξέλαβα ως ένα απλό πρόβλημα φυσικής αν και η έκφραση "Για κάθε 100 λίτρα νερού που υπάρχουν στη δεξαμενή όμως, διαρρέει νερό με ρυθμό 1 λίτρο ανά δευτερόλεπτο." με προβλημάτισε, δεν μου φάνηκε οικεία. Από διαφορικές εξισώσεις δεν έχω ιδέα σήμερα, συνεπώς δεν είναι για μένα.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  4. Υ.Γ. Όπως διαμορφώθηκαν τα δεδομένα του θέματος, θα ήταν παράλειψη μου να μην ζητήσω ταπεινά την συμπάθεια σας και την συγγνώμη σας για το σχόλιο μου περί... "στροφών" και όσον αφορά εμένα είναι έτσι, όσον αφορά όμως το πρόβλημα ήμουν τραγικά εκτός θέματος πολύ δεν περισσότερο που δεν γνωρίζω καν τι ..στροφές χρειάζονται.

    ΑπάντησηΔιαγραφή