Σάββατο, 23 Φεβρουαρίου 2013

▪ Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα « ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ» 2013 - Τα θέματα

Τα θέματα των μεγάλων (πάνω από 15,5 χρονών).
ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1
Δίνεται η ακολουθία πραγματικών αριθμών με και
  .
Να προσδιορίσετε τον όρο .
ΠΡΟΒΛΗΜΑ 2
Στο σύνολο των ακεραίων να λύσετε την εξίσωση:
  .
ΠΡΟΒΛΗΜΑ 3
Δίνονται τα σύνολα τέτοια ώστε . Με τα στοιχεία των συνόλων αυτών κατασκευάζουμε καινούρια σύνολα με την ακόλουθη διαδικασία: Στο πρώτο βήμα επιλέγουμε κάποια από τα σύνολα και αφαιρούμε από το καθένα τον ίδιο αριθμό στοιχείων. Όλα τα στοιχεία που αφαιρούμε αποτελούν τα στοιχεία του .Στο δεύτερο βήμα επαναλαμβάνουμε την ίδια διαδικασία στα σύνολα που έχουν προκύψει μετά την εφαρμογή του πρώτου βήματος και έτσι ορίζουμε το .Συνεχίζουμε ομοίως μέχρι που να εξαντληθούν όλα τα στοιχεία των ορίζοντας έτσι τα σύνολα . Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή του .
ΠΡΟΒΛΗΜΑ 4
Δίνεται τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο και έστω τυχόν σημείο της πλευράς (διαφορετικό από το μέσον της ).Ο περιγεγραμμένος κύκλος του ,έστω ,τέμνει τον κύκλο στο σημείο και την στο σημείο .O περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου ,έστω ,τέμνει τον κύκλο στο σημείο και την στο σημείο .Τέλος, ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου ,έστω τέμνει τον κύκλο στο σημείο . Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα και είναι ίσα.
(Σημείο =Σημείο Γ και σημείο =σημείο Δ στα θέματα)
Τα θέματα των μικρών (κάτω από 15,5 χρονών).
Πρόβλημα 1
(α) Να γράψετε την παράσταση , όπου θετικός ακέραιος, ως γινόμενο δύο παραγόντων που ο καθένας τους να είναι άθροισμα δύο τετραγώνων ακεραίων αριθμών.
(β) Να απλοποιήσετε την παράσταση

Πρόβλημα 2
Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο , με . Έστω το μέσο της πλευράς . Στην πλευρά θεωρούμε σημείο τέτοιο ώστε, αν το ευθύγραμμο τμήμα τέμνει τη διάμεσο στο σημείο , τότε ισχύει ότι . Να αποδείξετε ότι .
Πρόβλημα 3
Έστω τετραψήφιος θετικός ακέραιος με ψηφία τέτοια
ώστε να ισχύουν και . Θεωρούμε και τον θετικό ακέραιο
 
που προκύπτει από τον με αντίστροφη γραφή των ψηφίων του. Αν δίνεται ότι ο αριθμός έχει όλα τα ψηφία του περιττά, να προσδιορίσετε όλες τις δυνατές τιμές του αριθμού .
Πρόβλημα 4
Να βρείτε όλες τις τριάδες θετικών ακέραιων αριθμών που είναι λύσεις της εξίσωσης: 
.
Πηγή: mathematica.gr

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου