Χρησιμοποιώντας τους αριθμούς 1, 1, 6 και 7 από μία φορά και τις τέσσερις πράξεις (όχι απαραίτητα όλες), να σχηματίσετε τον αριθμό 4.▪ Scramble με αριθμούς - 175
Χρησιμοποιώντας τους αριθμούς 1, 1, 6 και 7 από μία φορά και τις τέσσερις πράξεις (όχι απαραίτητα όλες), να σχηματίσετε τον αριθμό 4.
▪ Γεωμετρία - Άσκηση 441
Έστω ισόπλευρο τρίγωνο $ABC$ και $Μ$ ένα εσωτερικό σημείο του. Αν $D, E$ και $F$ είναι τα ίχνη των καθέτων από το σημείο $Μ$ προς τις πλευρές $BC, CA$ και $AB$ αντιστοίχως, να βρείτε το γεωμετρικό τόπο του $M$ έτσι ώστε $\angle{FDE}= 90^o$.
10th Irish Mathematical Olympiad 1997
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com
▪ Γεωμετρία - Άσκηση 440
Έστω τρίγωνο $ABC$ και $Ρ$ εσωτερικό του σημείο τέτοιο ώστε
$\angle{APB}-\angle{C}=\angle{APC}-\angle{B}$.
Αν $D$ και $Ε$ είναι τα έγκεντρα των τριγώνων $ΑΡΒ$ και $ΑΡC$ αντιστοίχως, να αποδείξετε ότι οι ευθείες $ΑΡ$ και $BD$ και $CE $ διέρχονται από το ίδιο σημείο.
37th International Mathematical Olympiad 1996
▪ Λόγος ακτίνων = Λόγος αποστημάτων
ΠΟΡΙΣΜΑ
Σε δύο κανονικά ν-γωνα ο λόγος των πλευρών τους ισούται με το λόγο των ακτίνων τους και το λόγο των αποστημάτων τους.
Απόδειξη
Θεωρούμε δύο κανονικά πολύγωνα ΑΒΓ...Τ και Α'ΒΤ'...Τ' με το ίδιο πλήθος πλευρών, έστω ν (ν ≥3). Αν Ο,Ο' τα κέντρα των πολυγώνων, τα τρίγωνα ΟΑΒ και Ο'Α'Β' είναι όμοια γιατί είναι ισοσκελή και έχουν ΑÔΒ = Α'Ô'Β' = 360°ν και επομένως AΒA'B' = ΟΑΟ'Α' = ΟΗΟ'Η' , όπου ΟΗ, Ο'Η' τα ύψη των τριγώνων. Από την τελευταία ισότητα προκύπτει ότι:
όπου λν , R, αν τα συνήθη στοιχεία του ΑΒΓ...Τ και λ'ν , R', α'ν τα στοιχεία του Α'Β'Γ'...Τ'.
▪ Βάζο
Μέσα σε ένα βάζο υπάρχουν μαύρες και άσπρες μπίλιες. Παίρνουμε στην τύχη δύο μπίλιες και αυτές είναι άσπρες.
i) Αν η πιθανότητα να συμβεί αυτό είναι $\frac{1}{1000}$, τότε ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός των μπιλιών που υπήρχαν στο βάζο;
ii) Αν η πιθανότητα να συμβεί αυτό είναι $\frac{3}{7}$, τότε ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός των μπιλιών που υπήρχαν στο βάζο;
▪ Κύβοι αριθμών
Ο κύβος του 51 τελειώνει σε 51:
$51^3=132651$.
Ο κύβος του 249 τελειώνει σε 249:
$249^3=15438249$.
Πόσων 30 ψήφιων αριθμών, ο κύβος τελειώνει με τον ίδιο αριθμό;
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com
▪ Ημιτελής διαίρεση - 1
Σε κάθε αστερίσκο αντιστοιχεί και ένα ψηφίο.
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com
▪ Γεωμετρία - Άσκηση 439
Δίνεται τρίγωνο $ABC$ και έστω $Μ$ εσωτερικό σημείο του, τέτοιο ώστε $\angle{ΜΑΒ}=10^0$,$\angle{ΜΒΑ}=20^0$,$\angle{ΜΑC}=40^0$ και $\angle{ΜCΑ}=30^0$.
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com
Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο $ABC$ είναι ισοσκελές.
USA Mathematical Olympiad 1996▪ Γεωμετρία - Άσκηση 438
Έστω $ABCDE$ κυρτό πεντάγωνο και $M, N, P, Q, R$ τα μέσα των πλευρών $AB, BC, CD, DE, EA$ αντιστοίχως.Αν τα τμήματα $AP, BQ, CR, DM$ διέρχονται από το ίδιο σημείο $Ο$, να αποδείξετε ότι και το τμήμα $ΕΝ$ διέρχεται από το σημείο $Ο$.
13th Balkan Mathematical Olympiad 1996
Μ' ένα σμπάρο δυο τρίγωνα
Το σημείο $M$ είναι το μέσο της πλευράς $AB$, του τετραγώνου $ABCD$.
A) Βρείτε τη θέση σημείου $S$ της πλευράς $BC$, ώστε: $\widehat{MDA}= \widehat{MDS}$.
B) Βρείτε τη θέση σημείου $S$ της πλευράς $BC$, ώστε: $SM\perp MD$.
Πηγή: mathematica (KARKAR)
▪ Scramble με αριθμούς - 174
Χρησιμοποιώντας τους αριθμούς 3, 3, 5 και 8 από μία φορά και τις τέσσερις πράξεις (όχι απαραίτητα όλες), να σχηματίσετε τον αριθμό 1.▪ Γεωμετρία - Άσκηση 437
Έστω $Ο$ και $G$ το περίκεντρο και το κέντρο βάρους του τριγώνου $ΑΒΓ$ αντιστοίχως. Αν $R$ είναι η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου και $ρ$ η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου στο τρίγωνο $ΑΒΓ$, να αποδείξετε ότι
$ΟG\leq\sqrt{R(R-2ρ)}$.
13th Balkan Mathematical Olympiad 1996
Β' Λυκείου: Πανελλήνιος Μαθηματικός Διαγωνισμός 1986
1. Θεωρούμε τμήμα $\displaystyle{AB}$ και σημείο του $\displaystyle{\Gamma}$. Κατασκευάζουμε ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle{B\Gamma M} (\displaystyle{\widehat{M}=90^o})$. Έστω $\displaystyle{O}$ το σημείο που το τμήμα $\displaystyle{AM}$ τέμνεται από την ευθεία που περνά από το $\displaystyle{\Gamma}$ και είναι παράλληλη στην $\displaystyle{BM}$. Να δείξετε οτι το σημείο $\displaystyle{O}$ ανήκει σε σταθερό κύκλο, του οποίου να υπολογίσετε την ακτίνα.
▪Διοφαντικές εξισώσεις (Ι)
Nα λυθούν οι διοφαντικές εξισώσεις:
i) $x^2=1+y+y^2+y^3+y^4$, στο $Ν$.
ii) $x^2+x=y+y^2+y^3+y^4$, στο $Ζ$.
iii) $x^6+3x^3+1=y^4$, στο $Ζ$.
iv) $x^8+2x^6+2x^4+2x^2+1=y^2$, στο $Ζ$.
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com ▪ Κατασκευή τριγώνου - 16
Να κατασκευαστεί τρίγωνο, αν γνωρίζουμε:
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com
$γ, μ_α$ και $μ_β$.
▪Γεωμετρική κατασκευή του αριθμού φ (3)
Έστω ισόπλευρο τρίγωνο $ABC$. Επί της πλευράς $BC$ κατασκευάζουμε εξωτερικά ένα τετράγωνο $CBED$. Με κέντρο την κορυφή $C$ και ακτίνα $CE$ γράφουμε κύκλο, που τέμνει την προέκταση της $ΑΒ$ στο σημείο $F$.
Είναι
$\frac{AF}{AB}=Φ$.
▪ Σαν σήμερα
Μαθηματικοί που γεννήθηκαν στις 31 Δεκεμβρίου
1856 : William Thomson
1872 : Levytsky
1896 : Siegel
1916 : Northcott
1937 : Mazya
1945 : Adleman
1952 : Vaughan Jones
1610 : van Ceulen
1659 : Apaczai
1719 : Flamsteed
1894 : Stieltjes
1912 : Robert Ferguson
1944 : Kochin
1956 : Edwin P Adams
1962 : Charles Galton Darwin
1982 : Friedrichs
1872 : Levytsky1896 : Siegel
1916 : Northcott
1937 : Mazya
1945 : Adleman
1952 : Vaughan Jones
Μαθηματικοί που πέθαναν στις 31 Δεκεμβρίου
1659 : Apaczai
1719 : Flamsteed
1894 : Stieltjes
1912 : Robert Ferguson
1944 : Kochin
1956 : Edwin P Adams
1962 : Charles Galton Darwin
1982 : Friedrichs
▪ Τεστ Μαθηματικών
Σε ένα Τεστ Μαθηματικών πήραν μέρος 
μαθητές, οι οποίοι είχαν να απαντήσουν σε τρεις ερωτήσεις.
μαθητές, οι οποίοι είχαν να απαντήσουν σε τρεις ερωτήσεις.
Οι απαντήσεις τους στις τρεις ερωτήσεις ήταν, αντίστοιχα, ως εξής:
Πρώτος μαθητής: α) 
, β) , γ) 
.
, β) , γ) .
Δεύτερος μαθητής: α) , β) , γ) .
, β) , γ) .
Τρίτος μαθητής: α) 
, β) , γ) .
, β) , γ) .
Τέταρτος μαθητής: α) , β) , γ) .
, β) , γ) .
Πέμπτος μαθητής: α) , β) , γ) .
, β) , γ) .
Έκτος μαθητής: α) , β) , γ) .
, β) , γ) .
Αν κάθε μαθητής απάντησε σωστά σε τουλάχιστον μία ερώτηση, ποιες είναι οι σωστές απαντήσεις στο τεστ;
▪ Scramble με αριθμούς - 173
Χρησιμοποιώντας τους αριθμούς 2, 5, 8 και 9 από μία φορά και τις τέσσερις πράξεις (όχι απαραίτητα όλες), να σχηματίσετε τον αριθμό 19.▪ AM-GM Inequality for Weighted Means
Να αποδειχθούν οι ανισότητες:
i) $ad^{b-c}+bd^{c-a}+cd^{a-b}\geq{a+b+c}$
ii) $a^{c}b^{d}(c+d)^{c+d}\leq{c^{c}d^{d}(a+b)^{c+d}}$
iii) $(\frac{a+b+c}{3})^{a+b+c}\geq\frac{(b+c)^{a}(c+a)^b(a+b)^c}{2^{a+b+c}}$
όπου $a,b,c,d\in{R^{+}}$.
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com
i) $ad^{b-c}+bd^{c-a}+cd^{a-b}\geq{a+b+c}$
ii) $a^{c}b^{d}(c+d)^{c+d}\leq{c^{c}d^{d}(a+b)^{c+d}}$
iii) $(\frac{a+b+c}{3})^{a+b+c}\geq\frac{(b+c)^{a}(c+a)^b(a+b)^c}{2^{a+b+c}}$
όπου $a,b,c,d\in{R^{+}}$.
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com
▪Γεωμετρική κατασκευή του αριθμού φ (2)
Έστω τρεις ίσοι κύκλοι διαμέτρων 1. Οι κύκλοι εφάπτονται μεταξύ τους ανά δύο και τα κέντρα τους είναι συγγραμμικά.
Είναι
$BE = CD = Φ$.
▪ Γεωμετρία - Άσκηση 436
Δύο κύκλοι $C_1$ και $C_2$ με κέντρα $Ο_1$ και $Ο_2$ αντιστοίχως εφάπτονται εξωτερικά στο σημείο $C$. Ένας τρίτος κύκλος $C$ με κέντρο $O$ εφάπτεται εξωτερικά με τους κύκλους $C_1$ και $C_2$ στα σημεία $M$ και $N$ αντιστοίχως. Έστω $l$ η κοινή εφαπτομένη των κύκλων $C_1$ και $C_2$ στο σημείο $C$ και $AB$ η διάμετρος του κύκλου $C$. Aν η ευθεία $l$ είναι κάθετη στην $ΑΒ$ (τα σημεία $Ο_1$ και $Α$ ανήκουν στο ίδιο ημιεπίπεδο που ορίζεται από την ευθεία $l$), να αποδείξετε ότι οι ευθείες $ΑΟ_2$, $ΒΟ_1$ και $l$ διέρχονται από το ίδιο σημείο.
Bulgarian Mathematical Olympiad 1996 Round 3
▪ Από 1 έως 7....και 2013
$[(1 + 5)\cdot2\cdot4\cdot6\cdot7] - 3 = 2013$
$2^{(5+6)}- 34 - 1 = 2013$
$2\cdot4^5 - 36 + 1 = 2013$
$7\cdot(251 + 36) + 4 = 2013$
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com
▪ Γεωμετρία - Άσκηση 435
Έστω τρίγωνο $ABC$ και $AD$ η διάμεσος του και $Μ$ το μέσο της διαμέσου. Αν η $ΒΜ$ τέμνει την $AC$ στο σημείο $Ν$, να αποδείξετε ότι η $ΑΒ$ εφάπτεται του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου $ΝΒC$, αν και μόνο αν
$\frac{BM}{BN}=(\frac{BC}{BN})^2$.
11th Iberoamerican Mathematical Olympiad 1996
▪ Γεωμετρία - Άσκηση 434
Έστω τρίγωνο $ΑΒΓ$ και $ΑΔ, ΒΕ$ και $ΓΖ$ οι διχοτόμοι του. Αν $P, Q$ και $R$ είναι τα σημεία τομής των διχοτόμων του με τον περιγεγραμμένο του κύκλο, τότε να αποδείξετε ότι
$\frac{ΑΔ}{ΔΡ}+\frac{ΒΕ}{ΕQ}+\frac{ΓΖ}{ΖR}\geq9$.
Korea Mathematical Olympiad 1996
▪ Κατασκευή τριγώνου - 15
Να κατασκευαστεί τρίγωνο, αν γνωρίζουμε:
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com
$α, β$ και $υ_α$.
▪ Γινόμενο εφαπτομένων
Να αποδειχθεί ότι
$\displaystyle\prod_{n=1}^{k}\tan \left(\frac{n\pi}{2k+1}\right) = \sqrt{2k+1}$
Πηγή: mathimatikoi
▪ Σαν σήμερα
▪ Scramble με αριθμούς - 172
Χρησιμοποιώντας τους αριθμούς 2, 5, 8 και 9 από μία φορά και τις τέσσερις πράξεις (όχι απαραίτητα όλες), να σχηματίσετε τον αριθμό 52.(Λίγο δύσκολο)
▪ Μπρος πίσω
Τι ώρα θα είναι, αν οι δείκτες του ρολογιού κινηθούν ως εξής:
α) 3 ώρες και 15 λεπτά προς τα μπροστά
β) 4 ώρες και 25 λεπτά προς τα πίσω και μετά
γ) 1 ώρα και 30 λεπτά προς τα πίσω.
