Παρασκευή, 30 Νοεμβρίου 2012

▪ Φώτης Κόντογλου - Ἀνδρέας ὁ Πρωτόκλητος. Ἡ Ζωὴ ἑνὸς Ὁσιομάρτυρα

Προχθὲς στὶς 30 τοῦ Νοέμβρη ἤτανε ἡ μνήμη τοῦ ἁγίου ἀποστόλου Ἀνδρέα τοῦ Πρωτοκλήτου. Ὅλοι οἱ ἀπόστολοι πεθάνανε μὲ μαρτυρικὸ θάνατο, κηρύχνοντας τὸ Εὐαγγέλιο σὲ διάφορες χῶρες. Στὴν Ἑλλάδα μαρτύρησε μοναχὰ ἕνας ἀπ᾿ αὐτούς, ὁ Ἀνδρέας ὁ Πρωτόκλητος, δηλαδὴ ποὺ πῆγε πρῶτος κοντὰ στὸν Χριστό. Μαρτύρησε στὴν Πάτρα. Πολὺ τιμημένη εἶναι ἡ Πάτρα μέσα στὸν κόσμο, γιατὶ ἀξιώθηκε νὰ ποτισθεῖ τὸ χῶμα της μὲ τὸ αἷμα ἐκείνου ποὺ τὸν κάλεσε ὁ Χριστὸς πρὶν ἀπὸ τοὺς ἄλλους ἕντεκα, πρὶν ἀπὸ τὸν ἀδερφό του τὸν Πέτρο. Ὁ Ἀνδρέας ἤτανε στὴν ἀρχὴ μαθητὴς τοῦ Ἰωάννου τοῦ Προδρόμου. Μιὰ μέρα καθότανε ὁ Πρόδρομος μαζὶ μὲ τοὺς δυὸ μαθητές του, κ᾿ εἶδε ἀπὸ μακριὰ τὸν Χριστὸ νὰ περπατᾶ, καὶ γυρίζει καὶ τοὺς λέει: «Νά, αὐτὸς εἶναι τὸ ἀρνὶ τοῦ Θεοῦ».

▪ Το lisari λύνει το 4ο θέμα...

lisari.blogspot.comΟ αγαπητός συνάδελφος Μάκης Χατζόπουλος διαχειριστής του εξαιρετικού μαθηματικού ιστολογίου lisari.blogspot.com, μου πρότεινε να παρουσιάζει αυτός τη λύση του 4ου θέματος της στήλης "Η  Άσκηση του μήνα", που επιμελείται ο Νίκος Ζανταρίδης. Με χαρά δέχτηκα την πρόταση και στο τέλος κάθε μήνα θα ανεβάζω τη λύση του.
 Το 4ο Θέμα των Πανελλαδικών εξετάσεων                               

Νοέμβριος 2012

Δεκέμβριος 2012

Φεβρουάριος 2012

▪Πυθαγόρειο θεώρημα: Απόδειξη 11η

▪ Σαν σήμερα

Μαθηματικοί που γεννήθηκαν στις 30 Νοεμβρίου
1647 : Cavalieri
1836 : Pierre Girard
1921 : Schwarz

Πέμπτη, 29 Νοεμβρίου 2012

▪ Ὁ Ἅγιος Ἀνδρέας ὁ Ἀπόστολος, ὁ Πρωτόκλητος

Ο Άγιος Ανδρέας ήταν από την πόλη της Βηθσαϊδά, υιός κάποιου Εβραίου Ιωνά και αδελφός του Πέτρου του αποστόλου και κορυφαίου των μαθητών του Χριστού. Αυτός προηγουμένως μαθήτευσε στον Πρόδρομο και Βαπτιστή Ιωάννη, κι έπειτα, όταν άκουσε από τον διδάσκαλό του, που δακτυλοδεικτούσε τον Ιησού, το, Ίδε ο αμνός του Θεού, τον άφησε και ακολούθησε τον Χριστό. Είπε και στον Πέτρο το, Ευρήκαμεν Ιησούν τον από Ναζαρέτ, και αποσπάστηκε στην αγάπη του Χριστού. Και πολλά άλλα είναι γραμμένα γι’ αυτόν στη θεόπνευστη Γραφή. Αυτός λοιπόν με τον τρόπο αυτό ακολούθησε τον Χριστό. Μετά την Ανάληψη Εκείνου, για τον κάθε απόστολο κληρώθηκε και διαφορετική χώρα. Στον πρωτόκλητο έτυχε η χώρα των Βιθυνών και ο Εύξεινος Πόντος, τα μέρη της Προποντίδας, μαζί με τη Χαλκηδόνα και το Βυζάντιο και τη Θράκη και τη Μακεδονία, που έφθαναν μέχρι τον Ίστρο ποταμό, η Θεσσαλία και η Ελλάδα και τα μέρη της Αχαΐας. Αλλά και η Αμινσός, η Τραπεζούντα, η Ηράκλεια και η Άμαστρις.

▪ Χωρίς σύστημα

Βλέπουμε σε ένα φύλλο χαρτί τη γραφική παράσταση της συνάρτησης $y=\frac{1}{x}$, $x\geq{0}$, αλλά οι άξονες του ορθοκανονικού συστήματος έχουν σβηστεί. Πως μπορούμε να τους σχεδιάσουμε χρησιμοποιώντας μόνο κανόνα και διαβήτη;

▪Εναλλακτικοί τρόποι στην διδασκαλία των Μαθηματικών

ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ 
Η Παιδαγωγική Εταιρεία Ν. Πέλλας σε συνεργασία με τη ΔΗ.ΚΕ.ΠΑ Πέλλας, προσκαλεί τα μέλη και τους φίλους της σε διάλεξη με θέμα:
«Αναζητώντας εναλλακτικούς τρόπους προσέγγισης στη διδασκαλία των Μαθηματικών με στόχο τα παιδιά ν’ αγαπήσουν τα Μαθηματικά»
Εισηγητές:
Λάμπρου Μιχαήλ
καθηγητής τμήματος Μαθηματικών Πανεπιστημίου Κρήτης
Καλαμπούκας Ηλίας
εκπαιδευτικός Μsc στη Διδακτική Θετικών Επιστημών
H διάλεξη θα γίνει την Παρασκευή 30 Νοεμβρίου 2012, ώρα 6.00 μ.μ. στην αίθουσα Κέντρου Πληροφόρησης Νέων του Πνευματικού Κέντρου Γιαννιτσών.
Το ΔΣ της Παιδαγωγικής Εταιρείας Ν. Πέλλας

▪ Σαν σήμερα

Μαθηματικοί που γεννήθηκαν στις 29 Νοεμβρίου
1803 : Doppler
1847 : Greenhill
1849 : Lamb
1866 : Brown
1879 : Nikolai Krylov
1892 : Doetsch
1959 : Borcherds
1759 : Nicolaus(I) Bernoulli
1872 : Somerville
1920 : Sprague
1953 : Barnes
1992 : Dieudonné
2004 : Boersma

Τετάρτη, 28 Νοεμβρίου 2012

▪Βιντεομαθήματα για μαθητές Δημοτικού

1. Πολύγωνα
Να εισάγει το μαθητή στα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά διαφόρων πολυγώνων.
2. 24 ώρες
Να κατανοήσει ο μαθητής την έννοια της ψηφιακής ώρας, ενώ ταυτόχρονα, να μάθει να τη γράφει και να τη διαβάζει.
3. Πρόσθεση και Αφαίρεση Κλασμάτων
Να εισάγει την πρόσθεση κλασμάτων με ίδιο παρονομαστή.
4. Πρόσθεση
Εισαγωγή σε διάφορες μεθόδους πρόσθεσης.

▪ Πέντε κομμάτια (ΙΙ)

Οι πράσινοι αριθμοί μας δείχνουν πόσα κομμάτια θα μπορούσαν να βρίσκονται σε αυτό το τετραγωνάκι. Τα γαλάζια τετράγωνα μας δείχνουν τις πιθανές θέσεις των παρακάτω πέντε κομματιών.
Ποιες είναι οι θέσεις των κομματιών στη σκακιέρα;

▪Μικρομέγαλος

Ποιος είναι ο μικρότερος ακέραιος αριθμός, που είναι μεγαλύτερος από τον
$(\sqrt{3}+\sqrt{2})^6$.
α) 972       β) 971       γ) 970       δ) 969       ε) 968 
 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

▪ Β΄ Ευκλείδης 2012 - Τεύχος 85

▪ Β΄ Ευκλείδης 2011 - Τεύχος 82

▪ Β΄ Ευκλείδης 2011 - Τεύχος 81

▪ Β΄ Ευκλείδης 2011 - Τεύχος 80

▪ Β΄ Ευκλείδης 2011 - Τεύχος 79

▪ Β΄ Ευκλείδης 2010 - Τεύχος 77

▪ Β΄ Ευκλείδης 2010 - Τεύχος 76

▪ Μία βροχερή ημέρα

▪ Σημεία και γραμμές (ΙΙΙ)

Να τοποθετηθούν 9 δέντρα σε 10 σειρές, από 3 δέντρα σε κάθε σειρά.
 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

▪ Czech - Slovak

Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f:R\rightarrow{R}$, που ικανοποιούν την ισότητα
$f(f(x)+y)=f(x^2-y)+4f(x)y$
όπου $x,y\in{R}$.
Czech - Slovak match 1997
 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

▪ Σύστημα (Kvant)

Να λυθεί το σύστημα
$x+\frac{3x-y}{x^2+y^2}=3$
$y-\frac{x+3y}{x^2+y^2}=3$
 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

▪Βιντεομαθήματα για μαθητές Γυμνασίου

Να μάθεις πώς να πολλαπλασιάζεις και να διαιρείς αριθμούς με δυνάμεις του 10.


Να μάθεις πώς να διατάσσεις δεκαδικούς αριθμούς που έχουν μέχρι δύο δεκαδικά ψηφία.

Να μάθεις πώς να προσθέτεις και να αφαιρείς αριθμούς που έχουν μέχρι και δύο δεκαδικά ψηφία. 
4. Συντεταγμένες

Να καταλάβεις πώς να εντοπίζεις σημεία σε ένα δισδιάστατο σύστημα αναφοράς, χρησιμοποιώντας συντεταγμένες.

▪ $\leq{\frac{3}{4}}$

Έστω οι πραγματικοί αριθμοί $a,b,c\in{(0,1)}$ και $x,y,z\in{(0,\infty)}$, τέτοιοι ώστε
$a^x=bc$
$b^y=ca$
$c^z=ab$.
Να αποδειχθεί ότι
$\frac{1}{2+x}+\frac{1}{2+y}+\frac{1}{2+z}\leq{\frac{3}{4}}$.
 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

▪ Ποσοστό

Αν $x$ είναι το 150% του $y$, τότε τι ποσοστό του $3x$ είναι το $4y$;
 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

▪ Τσίμπησε!

▪ f(x), f(f(x)), f(f(f(x))),...

Έστω συνεχής συνάρτηση $f:R\rightarrow{R}$. Αν κάποιοι όροι της ακολουθίας 
$f(x), f(f(x)), f(f(f(x))),....$
είναι ίσοι με $1$, να αποδειχθεί ότι $f(1) = 1$.
 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

▪ Διεθνές Πρόγραμμα για την Αξιολόγηση των Μαθητών PISA

Το Διεθνές Πρόγραμμα για την Αξιολόγηση των Μαθητών PISA (Programme for International Student Assessment) του ΟΟΣΑ είναι μια διεθνής έρευνα που διεξάγεται στο χώρο της εκπαίδευσης ανά τακτά χρονικά διαστήματα (κάθε τρία χρόνια) από το 2000 μέχρι σήμερα. Είναι αποτέλεσμα συνεργασίας των χωρών μελών του ΟΟΣΑ και της Διεύθυνσης Εκπαίδευσης του ΟΟΣΑ.
Σκοπός του προγράμματος PISA είναι η παρακολούθηση της αποτελεσματικότητας των εκπαιδευτικών συστημάτων των συμμετεχουσών χωρών με όρους επίδοσης των μαθητών. Στη βάση ενός από κοινού διαμορφωμένου και διεθνώς αποδεκτού πλαισίου εργασίας, οι συμμετέχουσες χώρες μπορούν να συγκρίνουν τις επιδόσεις των μαθητών τους με τις επιδόσεις των μαθητών άλλων χωρών. Με αυτόν τον τρόπο το PISA βοηθά κάθε χώρα όχι μόνο να κατανοεί αλλά και να ενισχύει την αποτελεσματικότητα του εκπαιδευτικού της συστήματος και να μαθαίνει από τις πρακτικές άλλων χωρών. Οι εργασίες για τον σχεδιασμό του προγράμματος ξεκίνησαν στα μέσα της δεκαετίας του 1990 και η επίσημη έναρξη έγινε το 1997.

▪ Ακέραιοι αριθμοί $m,n$

Να αποδειχθεί ότι, για όλους τους ακέραιους αριθμούς $m$ και $n$, ο $mn(m^{420} − n^{420})$ διαιρείται από τον αριθμό
$446617991732222310$.

▪ Σαν σήμερα

Μαθηματικοί που γεννήθηκαν στις 28 Νοεμβρίου
1943 : Helly
1952 : Carlson
1954 : Fermi
1968 : Delsarte
1968 : Roth
1969 : Elbert Cox

Τρίτη, 27 Νοεμβρίου 2012

▪ Γεωμετρία - Άσκηση 385

Έστω $ABCD$ κυρτό τετράπλευρο και έστω τα σημεία $E=AD\cap{BC}$, $I=AC\cap{BD}$. Να αποδειχθεί ότι τα τρίγωνα $EDC$ και $ IAB$ έχουν το ίδιο κέντρο βάρους, αν και μόνο αν, $AB\parallel{CD}$ και $IC^2=IA\cdot{AC}$.
56th Romanian Mathematical Olympiad  

▪ Γεωμετρία - Άσκηση 384

Έστω τα σημεία $A, B, C, D$ (με αυτή τη σειρά) επί ενός κύκλου ακτίνας $r$. Αν
$AB = BC = CD = s < r$ και $AD = s+r$, 
να βρεθούν οι γωνίες του τετραπλεύρου $ABCD$. 
35th Swedish Mathematical Olympiad 1995 
 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

▪ "Γιατί σιωπούν οι άνθρωποι στις κρίσιμες στιγμές;"

Θυμήθηκα πάλι την εργασία μου με τον Καραθεοδωρή. Με βασάνιζε πολύ καιρό η στάση του: Ήταν Μάρτιος του 1933. Ο Αϊνστάιν είχε κάνει δηλώσεις στην Αμερική για την έλλειψη πολιτικής ελευθερίας στη Γερμανία. Οι αρχές του Καντ και του Γκαίτε, έλεγε, έπαψαν να τιμώνται πια στη δημόσια ζωή της χώρας. Το πρωσικό Υπουργείο Παιδείας απαίτησε από την Ακαδημία να καταδικάσει τις δηλώσεις του. Ο γραμματέας της, Ερνστ Χάιμαν, τον κατηγόρησε ότι υποδαυλίζει το μίσος στη Γαλλία και την Αμερική. Ο Μαξ Πλανκ τον προέτρεψε να φύγει από την Ακαδημία. Η κατάληξη όλων αυτών ήταν να τον διαγράψουν από τα μητρώα τους η πρωσική και η βαυαρική Ακαδημία.
"Αν λύσετε όμως το πρόβλημα των κλειστών γραμμών του χρόνου, θα σταθώ μπροστά σας, με σταυρωμένα από ευσέβεια τα χέρια..." έγραφε ο Αϊνστάιν σε επιστολή του προς τον μεγάλο έλληνα μαθηματικό το 1916. Κι ο Καραθεοδωρή, που ήταν μέλος και των δυο ακαδημιών, τι είπε για τον συνεργάτη του, όταν εκείνες αποφάσισαν τη διαγραφή του; Στην πρωσική, μάλιστα, ο Αϊνστάιν ήταν μεταξύ εκείνων που εισηγήθηκαν να γίνει μέλος της.

▪ The Weierstrass Function

▪ Secret

Τι σημαίνει η παρακάτω εικόνα;

▪ Γλυκό χαμόγελο...

lickystickypickyme:
My guy does the Myspace pose for y’all.Bow!

▪ $f:[0,1]\rightarrow{R}$

Έστω $f:[0,1]\rightarrow{R}$ παραγωγίσιμη συνάρτηση με συνεχή παράγωγο, τέτοια ώστε
$\int_0^1f(x)dx=\int_0^1xf(x)dx=1$.
Να αποδειχθεί ότι
$\int_0^1(f'(x))^2dx\geq30$.
Πότε ισχύει η ισότητα;
 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

▪ Αν και μόνο αν

Έστω $a,b,c$ πραγματικοί αριθμοί. Να αποδειχθεί ότι
$\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}=\sqrt[3]{a+b+c}$
αν και μόνο αν
$a^3+b^3+c^3=(a+b+c)^3$.
 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

▪ Σημεία και γραμμές (ΙΙ)

Να τοποθετηθούν 10 δέντρα σε 5 σειρές, από 4 δέντρα σε κάθε σειρά.
 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

▪ Τι τους συνδέει;

Guillaume de l'Hospital 
(1661/1704-FR)
Jean Bernoulli 
(1667/1748-CH)
Κάντε κλικ εδώ.

▪ Γ΄ Γυμνασίου: Ευκλείδης 2011

1.(α) Να βρείτε την τιμή της παράστασης: 
,
 αν δίνεται ότι .
(β) Αν τα ποσά είναι ανάλογα με συντελεστή αναλογίας
 
να αποδείξετε ότι η παράσταση 
 
έχει τιμή ανεξάρτητη των τιμών των και ισχύει ότι .
Για ποια τιμή του η παράσταση παίρνει τη μέγιστη τιμή της.

▪ Αριστερά τα μεγάλα

Πόσοι τριψήφιοι αριθμοί υπάρχουν, τέτοιοι ώστε το ψηφίο των εκατοντάδων τους να είναι μεγαλύτερο του ψηφίου των δεκάδων τους και αυτό με τη σειρά του να είναι μεγαλύτερο από το ψηφίο των μονάδων τους;
 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

▪ 11-άρια και 12-άρια

Σε ένα σύνολο αριθμών έχουμε μερικά 11-άρια και οι υπόλοιποι αριθμοί είναι 12 - άρια. Τα 11 - άρια είναι κατά τρία περισσότερα από τα 12 - άρια. Ποιος από τους παρακάτω αριθμούς μπορεί να είναι το άθροισμα τους;
α) 232        β) 234        γ) 235        δ) 240        ε) 256
 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

▪ Γ΄ Γυμνασίου: Ευκλείδης 2010

1.(α) Να λύσετε την εξίσωση:
  .
(β) Να βρείτε την τιμή της παράστασης:
 
για .
2. Οι θετικοί ακέραιοι είναι μεγαλύτεροι ή ίσοι του και τέτοιοι ώστε και
Να βρείτε τη μεγαλύτερη και τη μικρότερη τιμή της παράστασης
  .

▪ Βαθμός πολυωνύμου

Έχουμε μία πολυωνυμική μη σταθερή συνάρτηση για την οποία ισχύουν
$f(-4)=f(-2)=f(1)=f(3)=2012$.
Ποιος είναι ο μικρότερος δυνατός βαθμός του πολυωνύμου $f(x)$;
 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

▪ Πολύγωνα

▪ O τύπος για να βρούμε τον αριθμό των τριγώνων ενός πολυγώνου είναι
$n - 2$
Π.χ για το οκτάγωνο είναι 
$8 - 2= 6$ τρίγωνα.
 Ο τύπος για να βρούμε τον αριθμό των διαγωνίων ενός πολυγώνου είναι
$\frac{n(n-3)}{2}$
Π. χ για το οκτάγωνο είναι
$\frac{8(8-3)}{2}=\frac{40}{2}=20$ διαγώνιοι.

▪Περιστροφή σχημάτων

Λογισμικό της Intel για την κατανόηση της περιστροφής των σχημάτων. Έννοιες που σχετίζονται με την περιστροφή. 
Εξάσκηση στη δεξιόστροφη και αριστερόστροφη περιστροφή κατά ορισμένη γωνία.
Κάντε κλικ εδώ.

▪ Πέντε κομμάτια (Ι)

Οι πράσινοι αριθμοί μας δείχνουν πόσα κομμάτια θα μπορούσαν να βρίσκονται σε αυτό το τετραγωνάκι. Τα γαλάζια τετράγωνα μας δείχνουν τις πιθανές θέσεις των παρακάτω πέντε κομματιών.
Ποιες είναι οι θέσεις των κομματιών στη σκακιέρα;

▪ Προς τα που;

Προς ποια κατεύθυνση πρέπει να δείχνει το βέλος που λείπει;

▪ Σαν σήμερα

Μαθηματικοί που γεννήθηκαν στις 27 Νοεμβρίου

Δευτέρα, 26 Νοεμβρίου 2012

▪ Πόσο;

Aν η Susan είναι $10$, η Arabella είναι $20$, και οι Jim και Neal είναι μαζί $5$, αλλά ο Richard είναι $10$, πόσο είναι η Jennifer;

▪ Τέλειο τετράγωνο

Να βρεθούν τρεις ή περισσότεροι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, αρχίζοντας από 1, έτσι ώστε το άθροισμα τους να είναι ένα τετράγωνο.
Για παράδειγμα 
$1 + 3 + 9 + 27 + 81 = 121 = 11^2$.
 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

▪ $34$

Πάρτε ένα $1$, δύο $2$, τρία $3$, τέσσερα $4$, πέντε $5$, έξι $6$, επτά $7$, και οκτώ $8$ και τοποθετήστε τα σε ένα τετράγωνο 6x6, ένα ψηφίο σε κάθε τετραγωνάκι, έτσι ώστε σε κάθε σειρά, στήλη και κύρια διαγώνιο το άθροισμα να είναι $34$.
 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

▪ Μιχαήλογλου Στέλιος - blogs.sch.gr/smichailog/

Πολύ όμορφη ιστοσελίδα με πλούσιο υλικό του συναδέλφου Στέλιου Μιχαήλογλου, από το 14ο Λύκειο Περιστερίου.
Κάντε κλικ εδώ, για να επισκεφτείτε την ιστοσελίδα.
Δείτε επίσης:
Γραφική παράσταση συνάρτησης: Θεωρία - Λυμένα παραδείγματα - Ερωτήσεις κατανόησης - Ασκήσεις
Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Διαγώνισμα θεωρίας
Άλγεβρα Α΄ Λυκείου: 26 Επαναληπτικές ασκήσεις
Άλγεβρα Β΄ Λυκείου: 45 Επαναληπτικές ασκήσεις