▪ Scramble με αριθμούς - 71

Χρησιμοποιώντας τους αριθμούς 2, 5, 5 και 7 από μία φορά και τις τέσσερις πράξεις (όχι απαραίτητα όλες), να σχηματίσετε τον αριθμό 33.

Εμβαδόν ημικυκλίου

Έστω ημικύκλιο με διάμετρο $ΑΒ$ και κέντρο $Ο$ και ακτίνας $ρ$ και έστω $ΓΔ$ η χορδή του ημικυκλίου που εφάπτεται στους δύο κύκλους με διαμέτρους $ΑΟ$ και $ΟΒ$. Αν το μήκος της $ΓΔ$ είναι $120cm$, να υπολογίσετε το εμβαδόν του ημικυκλίου. 

7η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα 1990

Επί τετραέδρου

Έστω ένα ημικύκλιο με διάμετρο $ΑΒ = 50cm$ και $Γ$ ένα σημείο του ημικυκλίου τέτοιο ώστε $ΑΓ = 40cm$  και $Ε$ η προβολή του $Γ$ πάνω στην $ΑΒ$. 

Πάνω στην κάθετη από το σημείο $Γ$ στο επίπεδο του ημικυκλίου παίρνουμε τμήμα $ΓΔ =ΓΕ$ και κατασκευάζουμε το τετράεδρο $ΔΓΑΒ$. 

α) να βρείτε τις ακμές του τετραέδρου 

β) να βρείτε τον όγκο του τετραέδρου 

γ) να αποδείξετε ότι $ΑΔ^2 + ΒΓ^2 = ΒΔ^2 + ΓΔ^2$.

49ος Πανελλήνιος Μαθηματικός Διαγωνισμός 1989

▪ Γ΄ Γυμνασίου: 50ος Πανελλήνιος Μαθηματικός Διαγωνισμός

Να γράψετε κύκλο που περνά από τα μέσα των τριών πλευρών ορθογωνίου τριγώνου και να αποδείξετε ότι το τόξο του κύκλου το εξωτερικό της υποτείνουσας, ισούται με τη διαφορά των εξωτερικών τόξων του κύκλου στις δύο κάθετες πλευρές του τριγώνου. 

50ος Πανελλήνιος Μαθηματικός διαγωνισμός 1990

 

▪ Γ΄ Γυμνασίου: 48ος Πανελλήνιος Μαθηματικός Διαγωνισμός

Αν οι εξωτερικές γωνίες ενός τριγώνου ΑΒΓ είναι ανάλογες των αριθμών 2, 3 και 4, να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ. 

48ος Πανελλήνιος Μαθηματικός Διαγωνισμός 1988

 

▪ Κανονικό $72$-γωνο

Έστω ένα κανονικό $72$-γωνο $Α_1Α_2Α_3…..Α_{72}$ με κέντρο $Ο$.
α) Να βρείτε την εξωτερική του γωνία και τις γωνίες

$\angle{Α_{45}ΟΑ_{46}}$ και $\angle{Α_{44}Α_{45}Α_{46}}$.

β) Πόσες διαγώνιες έχει το κανονικό $72$-γωνο.

6η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα 1989

 

▪ Δίκλαδη

Η εξίσωση $xy +2x - y = 3$ ορίζει μία ασυνεχή καμπύλη που έχει δύο κλάδους.  

Να βρεθεί η ελάχιστη απόσταση μεταξύ των δύο αυτών κλάδων.

▪ Quiz-Μαθηματικών

ΟΝΟΜΑ:  

1.Τιμή μιας μετοχής πέφτει κατά 50%. Πόσο τις % θα πρέπει να ανεβεί για να αποκτήσει την αρχική του τιμή.  20 50 100 200

2.Τι πιθανότητα έχουμε οταν ρίχνουμε δυο ζάρια να φέρουμε "6άρες" ? (δηλαδή να δείχνουν και τα δύο 6)  1/2 1/6 1/12 1/36

3.Η τιμή ενός προϊόντος με ΦΠΑ 18% είναι 5900. Ποια η τιμή του χωρίς ΦΠΑ?  5000 5720 5340 5192

▪ Scramble με αριθμούς - 70

Χρησιμοποιώντας τους αριθμούς 4, 5, 7 και 7 από μία φορά και τις τέσσερις πράξεις (όχι απαραίτητα όλες), να σχηματίσετε τον αριθμό 11.

▪ Επαρκής λόγος

Το τρίγωνο $ABC$ είναι ορθογώνιο και τα $K,L,M$ είναι κέντρα τετραγώνων.

Βρείτε την ελάχιστη τιμή του λόγου $\frac{(KLM)}{(ABC)}$.

Πηγή: KARKAR

▪ Marios Chatzidimou, winner of the 41st UPU Letter writing competition

Winning letters of the 2012 International letter-writing competition for young people

Marios Chatzidimou, winner of the 41st UPU Letter writing competition

The 2012 edition asked young people to write a letter to an athlete or a sports personality they admire to tell them what the Olympic Games mean to them.

Results

Gold: Greece

Marios Chatzidimou's letter

Silver: Kenya

Valentine Chimba's letter

Bronze ex aequo: Ukraine / Trinidad & Tobago

Alyona Kuchinskaya's letter

Chelsea Gabriella Ellise Mangarro's letter

Διαβάστε περισσότερα εδώ.

Γεωμετρία: Άσκηση 331

Έστω κύκλος με κέντρο $Ο$ που διέρχεται από τις κορυφές $A$ και $C$ τριγώνου $ABC$ και τέμνει τις πλευρές του $ΑΒ$ και $BC$ στα σημεία $K$ και $N$ αντιστοίχως. 

Αν $C_1$ και $C_2$ οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων $ABC$ και $KBN$ στα σημεία $B$ και $M$, τότε να αποδείξετε ότι $\angle{ΟΜΒ}=90^0$. 

26th International Mathematical Olympiad 1985

▪ Κάστρο

Ένα κάστρο περιβάλλεται από τάφρο πλάτους 20 μέτρων. Ο γενναίος ιππότης Giorgio Vedi θέλει να μπει στο κάστρο, για να διασώσει μία κοπέλα που κινδυνεύει. 

Έχει μόνο δύο σανίδες, μήκους 19 μέτρων η καθεμία και δεν έχει καρφιά μαζί του. Πώς μπορεί ο ιππότης να περάσει την τάφρο;
Η λύση του γρίφου: Φραγκάκης Νίκος (Doloros)

▪ Γωνία εφαπτομένων

Έστω η παραβολή $y^2 = 4x$ και $Ρ$ τυχαίο σημείο επί της ευθείας $x=-1$. Όπως φαίνεται από το παρακάτω σχήμα μπορούμε να φέρουμε ακριβώς δύο εφαπτομένες από το σημείο $Ρ$ προς την παραβολή.

Να βρεθεί η γωνία των δύο εφαπτομένων.

Γεωμετρία: Άσκηση 330

Έστω κύκλος $(Ο, ρ)$ και τα σημεία $A, B$ και $C$ επί του κύκλου, τέτοια ώστε $BA = BC$. Αν $D$ σημείο στο εσωτερικό του κύκλου, τέτοιο ώστε το τρίγωνο $BCD$ να είναι ισόπλευρο και η $AD$ τέμνει τον κύκλο στο σημείο $E$, να αποδείξετε ότι $DE = ρ$. 

25th Swedish Μathematical Olympiad 1985

Γεωμετρία: Άσκηση 329

Έστω τρίγωνο $ABC (AB ≠ AC)$ και $P$ σημείο από την αντίθετη μεριά του ημιεπιπέδου $(ΑΒ,C)$ τέτοιο ώστε $PA = PB$ και $Q$ σημείο από την αντίθετη μεριά του ημιεπιπέδου $(AC, B)$ τέτοιο ώστε $QA = QC$ και $\angle{Q}=\angle{P}$. 

Αν $R$ σημείο του ημιεπιπέδου $(BC, A)$, τέτοιο ώστε $RB = RC$ και $\angle{R}=\angle{P}$, να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο $APRQ$ είναι παραλληλόγραμμο.

24th International Mathematical Olympiad 1983 shortlist

▪ Evangelista Torricelli (1608 – 1647)

Evangelista Torricelli (1608 – 1647)

▪ Ώρα

Ένας άντρας βιαζόταν για να προλάβει το τρένο που αναχωρούσε στις 1:15πμ από το σταθμό και ήταν ήδη περασμένες 13.00 μ.μ. 

Από μακριά βλέπει ένα ρολόι της εκκλησίας και παρόλο που ο ίδιος δεν μπορούσε να δει τι ώρα έδειχναν οι δείκτες του, μπορούσε να δει ότι οι δύο δείκτες ταυτίζονταν και αμέσως κατάλαβε τι ώρα ήταν. Ποια ήταν η ώρα;

▪Συντεταγμένες Διανύσματος

Έστω $Oxy$ ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και $\overrightarrow{a}$ ένα διάνυσμα του επιπέδου. Με αρχή το $Ο$ σχεδιάζουμε το διάνυσμα $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$. Αν $A_1$ και $A_2$είναι οι προβολές του $Α$ στους άξονες $x΄x$ και $y΄y$ αντιστοίχως, έχουμε:

$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OA_1}+\overrightarrow{OA_2}$      (1)

Αν x,y είναι οι συντεταγμένες του $A$, τότε ισχύει $\overrightarrow{OA_1}=x\overrightarrow{i}$  και $\overrightarrow{OA_2}=y\overrightarrow{i}$.  Επομένως η ισότητα (1) γράφεται

$\overrightarrow{a}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}$.

Αποδείξαμε δηλαδή ότι το  $\overrightarrow{a}$  είναι γραμμικός συνδυασμός των  $\overrightarrow{i}$ και  $\overrightarrow{j}$. 

Στην παραπάνω κατασκευή οι αριθμοί $x$ και $y$ είναι μοναδικοί. Θα αποδείξουμε τώρα ότι και η έκφραση του  $\overrightarrow{a}$ ως γραμμικού συνδυασμού των  $\overrightarrow{i}$ και  $\overrightarrow{j}$ είναι μοναδική.

Γεωμετρία: Άσκηση 327

Έστω τρίγωνο $ABC$ και $Ρ$ ένα εσωτερικό σημείο του. Αν $AD, BE$ και $CF$ οι κάθετες από το σημείο $Ρ$ στις πλευρές $BC, CA$ και $AB$ του τριγώνου αντιστοίχως, τότε να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του σημείου $Ρ$, έτσι ώστε το άθροισμα $$\dfrac{BC}{PD}+\dfrac{CA}{PE}+\dfrac{B}{PF}.$$

να είναι ελάχιστο.

22nd International Mathematical Olympiad 1981

Γεωμετρική ανισότητα - 7

Σε ημικύκλιο διαμέτρου $ΑE$ και ακτίνας $1$, έστω οι διαδοχικές χορδές $AB, BC, CD$ και $DE$. Αν τα μήκη των χορδών είναι $a, b, c$ και $d$ αντιστοίχως, να αποδείξετε ότι $$$a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + abc + bcd < 4.$$

22nd International Mathematical Olympiad 1981 shortlist

Γεωμετρία: Άσκηση 328

Έστω τρίγωνο $ABC$ τέτοιο ώστε $$\frac{\angle{A}}{\angle{C}}=\frac{\angle{B}}{\angle{A}}=2.$$

Αν O είναι το έκκεντρο του τριγώνου και $K, L$ είναι τα κέντρα των παρεγεγραμμένων κύκλων απέναντι από τις γωνίες $B$ και $A$ αντιστοίχως, να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα $ABC$ και $OKL$ είναι όμοια.

Brazil MO 1982

▪ Srinivasa Ramanujan (1887 – 1920)

Srinivasa Ramanujan (1887 – 1920)

▪ Καρτεσιανό Επίπεδο

Πάνω σε ένα επίπεδο σχεδιάζουμε δύο κάθετους άξονες $x΄x$ και $y΄y$ με κοινή αρχή $Ο$ και μοναδιαία διανύσματα τα $\overrightarrow{i}$ και $\overrightarrow{j}$. 

Λέμε τότε ότι έχουμε ένα ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο ή απλούστερα ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο ή ακόμα ένα καρτεσιανό επίπεδο και το συμβολίζουμε με $Oxy$. 

Το σύστημα $Oxy$ λέγεται ορθοκανονικό, γιατί είναι ορθογώνιο και κανονικό. Ορθογώνιο είναι, γιατί οι άξονες $x΄x$ και $y΄y$ είναι κάθετοι, και κανονικό, γιατί τα διανύσματα $\overrightarrow{i}$ και $\overrightarrow{j}$ είναι ισομήκη.

Γεωμετρία: Άσκηση 323

Έστω τρίγωνο $ABC$ τέτοιο ώστε $$\dfrac{BC}{AB-BC}= \dfrac{AB+BC}{AC}.$$

Να βρεθεί ο λόγος $\dfrac{\angle{A}}{ \angle{C}}.$

11th Baltic way Mathematical Team Contest 2000

▪ Χρώματα

Χρωματίζουμε όλα τα σημεία του επιπέδου με 2 χρώματα. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν τουλάχιστον δύο σημεία του επιπέδου που έχουν το ίδιο χρώμα και απέχουν μεταξύ τους απόσταση 1. 

3η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα 1986

▪ Ίσα εμβαδά;

Αν ένα ισόπλευρο τρίγωνο και ένα τετράγωνο έχουν ίσες περιμέτρους, τότε θα έχουν και ίσα εμβαδά;

 46ος Πανελλήνιος Μαθηματικός διαγωνισμός 1986

Γεωμετρία: Άσκηση 326

Έστω κυρτό πεντάγωνο $ABCDE$ με ίσες πλευρές και $$A\geq{B}\geq{C}\geq{D}\geq{E}.$$Να αποδειχθεί ότι το πεντάγωνο είναι κανονικό. 

22η Ιnternational Μathematical Οlympiad 1981 shortlist

Γεωμετρία: Άσκηση 324

Έστω ισόπλευρο τρίγωνο $ABC$ με εμβαδόν $1$ και έστω σημείο $A'$ επί της πλευράς $BC$ τέτοιο ώστε $BA' = 2A'C$. 

Ομοίως παίρνουμε σημεία $B'$ και $C'$ επί των πλευρών $ΑC$ και $AB$ αντιστοίχως, τέτοια ώστε $CB'=2B'A$ και $ΑC'=2C'B$. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο που σχηματίζουν οι ευθείες $AA', BB'$ και $CC'$ έχει εμβαδόν $\frac{1}{7}$

46th Eötvös Mathematical Olympiad 1942

▪ Frederick Soddy (1877 – 1956)

Frederick Soddy (1877 – 1956)

▪ Ρομπότ

Αν πέντε ρομπότ μπορούν να κατασκευάσουν πέντε νέα ρομπότ σε πέντε ώρες, πόσες ώρες θα χρειαστούν εκατό ρομπότ να κατασκευάσουν εκατό νέα ρομπότ;

▪ Αδύνατη διακόσμηση

▪Πυθαγόρειο θεώρημα: Απόδειξη

Απόδειξη
Χωρίς λόγια...

▪ Αρμονικός μέσος

Στον Ίππασο αποδίδεται η ανακάλυψη του αρμονικού μέσου δύο αριθμών. Μέχρι τότε ήταν γνωστοί δύο άλλοι «μέσοι», ο αριθμητικός μέσος και ο γεωμετρικός μέσος. 

Αν α, β, γ είναι τρεις ακέραιοι αριθμοί τότε: 

▪ ο αριθμός β λέγεται Αριθμητικός μέσος των α και γ και ισούται με 

$β=\frac{α+γ}{2}$

▪ ο αριθμός β λέγεται Γεωμετρικός μέσος των α και γ και ισούται με 

$β = αγ$

▪ ο αριθμός β λέγεται Αρμονικός μέσος των α και γ και ισούται με 

$β=\frac{2αγ}{α+γ}$.

▪ Το sudoku της ημέρας

Δύσκολο.

▪ The Merton College Theorem

▪ Σαν σήμερα

Μαθηματικοί που γεννήθηκαν στις 31 Ιουλίου

1704 : Cramer
1712 : Samuel König
1826 : Meissel
1863 : Miller
1923 : Joseph Keller
1945 : John O'Connor

Μαθηματικοί που πέθαναν στις 31 Ιουλίου

1726 : Nicolaus(II) Bernoulli
1896 : Christian Wiener

▪ Ανισότητα Bernoulli

Να αποδειχτεί ότι για όλους τους θετικούς ακεραίους $v$ με $ν\geq2$ και για όλους τους πραγματικούς $α$ με $α\neq0$ και $α>-1$ ισχύει:

$(1+α)^ν>1+να$.

Απόδειξη

Έστω $P(v)$ η ανισότητα που θέλουμε να αποδείξουμε.

• Για $v=2$ η ανισότητα γίνεται: $(1+α)^2>1+2α$, δηλαδή $1+2α+ α^2>1+2α$ που είναι αληθής, αφού για $α\neq0$ ισχύει $α^2>0$. Ώστε $P(2)$ αληθής.

• Θα αποδείξουμε ότι αν $P(v)$ αληθής, τότε και $P(v +1)$ αληθής, δηλαδή:

αν  $(1+α)^ν>1+να$, τότε  $(1+α)^{ν+1}>1+(ν+1)α$.
Έχουμε διαδοχικά:

$(1+α)^ν>1+να$

$(1+α)^{ν}(1+α)>(1+να)(1+α)$,   αφού $1+α>0$

$(1+α)^{ν+1}>1++α +να +να^2$

$(1+α)^{ν+1}>1+(ν+1)α +να^2$

$(1+α)^{ν+1}>1+(ν+1)α$,     αφού $να^2>0$.

Επομένως, η ανισότητα του Bernoulli ισχύει για όλους τους θετικούς ακεραίους $v$ με $ν\geq2$.

▪ Γεωμετρία: Άσκηση 322

Έστω $CD$ χορδή του κύκλου (1) και $ΑΒ$ μία διάμετρος του, κάθετη στη χορδή $CD$ στο σημείο $Ν$, με $ΑΝ>ΝΒ$. Ένας άλλος κύκλος (2), κέντρου $ C$, τέμνει τον πρώτο κύκλο στα σημεία $P$ και $Q$.

Η ευθεία $PQ$ τέμνει τη $CD$ στο σημείο $Μ$ και την $AC$ στο $Κ$. Η προέκταση της $ΝΚ$ τέμνει τον κύκλο (2) στο σημείο $ L$. Να αποδειχθεί ότι $PQ\perp{AL}$. 

Singapore MO 2010

▪ Γεωμετρία: Άσκηση 321

Στο παρακάτω σχήμα, οι κύκλοι με κέντρα $Ο_1$ και $Ο_2$ είναι παρεγγεγραμμένοι κύκλοι του τριγώνου $ABC$. Τα σημεία $E, G, H, F$ είναι τα σημεία επαφής των προεκτάσεων των πλευρών του τριγώνου με τους κύκλους.

Αν $P$, είναι το σημείο επαφής των ευθειών $EG, HF$ να αποδειχθεί ότι $AP\perp{BC}$.

China MO 1996

 

Γεωμετρία: Άσκηση 320

Αν $Η$ είναι το όρθόκεντρον τριγώνου $ΑΒΓ$ και $R$ η άκτίς της περί το τρίγωνον περιγεγραμμένης περιφερείας, να δειχθή ότι $$\frac{(ΒΗ)(ΓΗ)}{R^2}\leq{4ημ^2\frac{A}{2}}$$ και να έξετασθή πότε ίσχύει το ίσον.

Θέμα εισαγωγικών εξετάσεων, Πολυτεχνείο 1967

▪ Ίσες αποστάσεις

Στην παρακάτω εικόνα βλέπουμε τρία χωριά στα σημεία $Α(1,2), Β(2,5), Γ(5,1)$. 

Μια αποθήκη εφοδιασμού προγραμματίζεται να κατασκευαστεί σε ένα σημείο $Ρ$, η οποία να ισαπέχει από τα τρία χωριά.

Να βρεθούν οι συντεταγμένες του σημείου $Ρ$. 

Η λύση της άσκησης:  Φραγκάκης Νίκος(Doloros)

▪ Κανόνες de L' Hospital

ΘΕΩΡΗΜΑ 1ο (μορφή $\frac{0}{0}$)

Αν ,  x0 ϵ R ∪{−∞,+∞}, και υπάρχει το  (πεπερασμένο ή άπειρο), τότε:

ΘΕΩΡΗΜΑ 2ο (μορφή $\frac{\pm\infty}{\pm\infty}$)

Αν  ,  x0 ϵ R ∪{−∞,+∞}, και υπάρχει το  (πεπερασμένο ή άπειρο), τότε: