Τρίτη 18 Δεκεμβρίου 2012

▪ Αδύνατη ή όχι αδύνατη

Να λυθεί η εξίσωση 
$x²+x+1=0$.
Λύση
1ος τρόπος
Η διακρίνουσα του τριωνύμου είναι
$Δ=β^2-4αγ=1^2-4\cdot{1}\cdot{1}=-3<0$
άρα η εξίσωση είναι αδύνατη, στο σύνολο των πραγματικών αριθμών.
2ος τρόπος
Διαιρούμε και τα δύο μέλη της εξίσωσης με $x\neq{0}$ και παίρνουμε 
$x+1+\frac{1}{x} = 0$   (1)
Επίσης έχουμε
$x²+x+1=0\Rightarrow{x+1} = -x²$ (2).
Από (1) και (2) έχουμε
$-x²+\frac{1}{x} = 0$ 
     $x² = \frac{1}{x}$ 
      $x^3 = 1$ 
     $x = 1$
Που βρίσκεται το λάθος;

3 σχόλια:

  1. Πολύ ωραίο παράδειγμα για εμβάθυνση στην Τυπική Λογική και σ'αυτό που λέμε ex contradictio επιχείρημα!
    Χρησιμοποιώντας δηλαδή την πρόταση που θέλαμε να αποδείξουμε σαν στοιχείο της απόδειξής μας.
    Δεν υπάρχει ουσιαστικά λάθος υπολογιστικό (calculus) ,απλώς αποδείξαμε (δια της ατόπου απαγωγής,τρόπον τινά) ότι όντως δεν υπάρχει λύση στο σύνολο των πραγματικών αριθμών. Αν υπήρχε θα έπρεπε 1^2 + 1 + 1 να κάνει 0.

    Μ'άλλα λόγια, στέκει απολύτως σαν σωστό επαγωγικό συμπέρασμα ότι αν P =0 και P διάφορο από το 0 ,τότε εγώ είμαι η σύζυγος του κου Ρωμανίδη! (ακόμη κι αν είμαι άντρας!):-)

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. παίρνω σαν δεδομένο ότι αναζητάμε λύση στο σύνολο των πραγματικών αριθμών.

    με τις λιγοστές μου γνώσεις, θα έλεγα:

    1η εξήγηση: η τιμή χ = 1 απορρίπτεται, επειδή δεν επαληθεύει την αρχική εξίσωση.

    2η εξήγηση:(περίπου το ίδιο από άλλη οπτική γωνία)
    από την αρχική προκύπτει ότι χ = - χ^2 - 1 δηλαδή χ < 0, οπότε η τιμή χ = 1 απορρίπτεται.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  3. Στον 2ο τρόπο θεωρούμε δεδομένη ισότητα την εξίσωση,την οποία και λύνουμε ως προς χ+1.
    Όμως η σχέση (2) δεν είναι ισότητα είαι εξίσωση.

    ΑπάντησηΔιαγραφή