▪ Γ΄ Γυμνασίου: Ευκλείδης 2011

1.(α) Να βρείτε την τιμή της παράστασης: 

,

 αν δίνεται ότι .

(β) Αν τα ποσά είναι ανάλογα με συντελεστή αναλογίας

  , 

να αποδείξετε ότι η παράσταση 

 

έχει τιμή ανεξάρτητη των τιμών των και ισχύει ότι .

Για ποια τιμή του η παράσταση παίρνει τη μέγιστη τιμή της.

2. Στο διπλανό σχήμα, οι μικροί κύκλοι είναι ίσοι μεταξύ τους (με ακτίνα ), έχουν κέντρα τα σημεία και εφάπτονται εξωτερικά στο σημείο . Οι διάμετροι και (των μικρών κύκλων) είναι κάθετες στην διάκεντρό τους . Ο μεγάλος κύκλος τέλος, έχει κέντρο το σημείο και περνάει από τα σημεία . Να υπολογιστεί συναρτήσει του , το εμβαδόν του σκιασμένου χωρίου. 

3. Γράφουμε στον πίνακα το σύνολο που περιέχει όλους τους ακέραιους από το μέχρι και το . Διαγράφουμε από το σύνολο όλους τους ακέραιους που είναι πολλαπλάσια του και στη συνέχεια διαγράφουμε όλους τους ακέραιους που είναι πολλαπλάσια του . Να βρείτε πόσοι ακέραιοι θα απομείνουν στο σύνολο .

4. Δίνονται τα πολυώνυμα

και 

,

όπου .

Αν ισχύει ότι

, 

να βρείτε τις τιμές των παραμέτρων για τις οποίες τα πολυώνυμα και είναι ίσα.

Πηγή: mathematica (parmenides51)