▪ Β΄ Γυμνασίου: Ευκλείδης 2000

1. Το έτος έχει την εξής ιδιότητα:

Είναι τετραψήφιος αριθμός και αν διπλασιάσουμε το ψηφίο των μονάδων παίρνουμε το ψηφίο των χιλιάδων.

Να βρεθεί το πλήθος όλων των τετραψήφιων αριθμών που έχουν την παραπάνω ιδιότητα.

2. Αν για κάθε θετικό ακέραιο αριθμό ισχύει η ισότητα

 

να υπολογίσετε το άθροισμα

  .

3. Αν ο αριθμός είναι θετικός ακέραιος, να δειχτεί ότι ο αριθμός

 

δεν είναι ποτέ ακέραιος.

4. Στο σχήμα το τετράπλευρο είναι ορθογώνιο και το τμήμα το χωρίζει σε δύο 

τετράπλευρα που έχουν ίσα εμβαδά.

Αν είναι και , να δειχτεί ότι:

1) .

2) Τα τρίγωνα και έχουν ίσα εμβαδά ( το κέντρο του).

3) Τα τετράπλευρα και έχουν ίσα εμβαδά.

Πηγή: mathematica