Πέμπτη, 26 Ιουλίου 2012

▪ Θεώρημα Rolle

ΘΕΩΡΗΜΑ
Αν μια συνάρτηση f είναι :
  συνεχής στο κλειστό διάστημα [α, β]
  παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα (α, β) και
  f(α) = f(β)
τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ξ ϵ (α, β) τέτοιο, ώστε :
f ʹ(ξ) = 0
Γεωμετρικά, αυτό σημαίνει ότι υπάρχει ένα, τουλάχιστον, $ξ ϵ (α,β)$ τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της $C_f $ στο $M(ξ, f(ξ))$ να είναι παράλληλη στον άξονα των $x$ (σχ.18).
Για παράδειγμα, έστω η συνάρτηση

$f(x) = x^2 − 4x + 5, x ϵ [1,3]$.     (Σχ. 19)
Επειδή η $f$ είναι συνεχής στο $[1,3]$, παραγωγίσιμη στο $(1,3)$, με $f ʹ(x) = 2x − 4$ και $f(1) = 2 = f(3)$, σύμφωνα με το θεώρημα Rolle, θα υπάρχει ένας αριθμός $ξ ϵ (1, 3)$ τέτοιος, ώστε $f ʹ(ξ) = 0$.
Για την εύρεση του αριθμού ξ, έχουμε :
$f ʹ(ξ) = 0 ⇔ 2ξ − 4 = 0 ⇔ ξ = 2$. 
Από το σχολικό βιβλίο των Μαθηματικών κατεύθυνσης της Γ΄ Λυκείου.

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου