▪ Η διάλεξη του Δημήτρη Χριστοδούλου για τα μαθηματικά στην αρχαία Αλεξάνδρεια (Ευκλείδης – Αρχιμήδης)

Η μπροστινή όψη του μεταλλίου Fields (θεωρείται ως το βραβείο Νομπέλ των μαθηματικών) εικονίζει τον κορυφαίο των μαθηματικών, τον Αρχιμήδη, το όνομα του οποίου επιγράφεται στα Ελληνικά στη δεξιά πλευρά... Η επιγραφή στα Λατινικά σημαίνει: «Ξεπέρασε τον εαυτό σου και συλλάμβανε τον κόσμο»
Σήμερα έπεσε στα χέρια μου ένα μικρό βιβλίο με τίτλο «ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΑΛΕΞΑΝΔΡΕΙΑ, ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ – ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ» και με έκπληξη διαπίστωσα ότι το όνομα του συγγραφέα είναι ένα από τα κορυφαία της παγκόσμιας επιστημονικής κοινότητας – του Δημήτρη Χριστοδούλου.
Ο Δημήτρης Χριστοδούλου γεννήθηκε το 1951 στην Αθήνα. Είναι Καθηγητής Μαθηματικών και Φυσικής στο Ομοσπονδιακό Πολυτεχνείο της Ζυρίχης. Έχει διατελέσει Καθηγητής Μαθηματικών του Πανεπιστημίου των Συρακουσών ΗΠΑ (1985-1987), του Ινστιτούτου Κουράντ του πανεπιστημίου της Νέας Υόρκης (1988-1992), και του Πανεπιστημίου Πρίνστον (1992-2001). Έχει τιμηθεί με το βραβείο του ιδρύματος MacArthur(1993), το βραβείο Böcher της Αμερικανικής Μαθηματικής Εταιρείας (1999), και το βραβείο Shaw για τα Μαθηματικά (2011). Είναι μέλος της Αμερικανικής Ακαδημίας Τεχνών και Επιστημών.

Δεν είχα υπόψη μου άλλο βιβλίο του Δημήτρη Χριστοδούλου στα Ελληνικά (μάλλον είναι το πρώτο). Βασίζεται στη διάλεξη που έδωσε στην Παλαιά Βουλή υπό την αιγίδα του συλλόγου «Φίλοι της βιβλιοθήκης της Αλεξάνδρειας».
Σύμφωνα με το οπισθόφυλλο του βιβλίου, στη διάλεξη αυτή ο Δημήτρης Χριστοδούλου εστιάζει σε δύο από τις πιο σημαντικές μορφές της μαθηματικής επιστήμης, τον Ευκλείδη και τον Αρχιμήδη. Είναι oι στοχαστές που σημάδεψαν τα μαθηματικά και όχι μόνο, αφού η Ευκλείδεια Γεωμετρία κυριαρχούσε μέχρι τα νεώτερα χρόνια, ενώ ο Αρχιμήδης έθεσε τις βάσεις του ολοκληρωτικού λογισμού και θεμελίωσε τα πεδία της οπτικής, της μηχανικής και της υδροστατικής, επιτυγχάνοντας στη διάρκεια μιας ζωής ό,τι χρειάστηκε χιλιετίες για να επιτευχθεί στο χώρο της γεωμετρίας.
Η παρουσίαση του Ευκλείδη γίνεται μέσα από την ανάλυση βασικών θεωρημάτων του, ενώ γίνονται αναφορές σε προγενέστερούς του, προκειμένου να θεμελιωθεί η βαρύτητα των αποκαλύψεών του.
Όσον αφορά τον Αρχιμήδη, από το σύνολο του έργου του, η ανάλυση επικεντρώνεται σε ένα από τα θεωρήματα για τη γεωμετρία της σφαίρας και στο πλέον εντυπωσιακό έργο του, την υδροστατική.
Μπαίνω στον πειρασμό και παραθέτω ένα μικρό απόσπασμα του βιβλίου που περιέχει την απόδειξη του Ευκλείδη ότι το σύνολο των πρώτων αριθμών είναι άπειρο:
«… Οι πρώτοι αποτελούν τους οικοδομικούς λίθους στο βασίλειο των αριθμών, γιατί όλοι οι άλλοι αριθμοί είναι σύνθετοι, εφόσον παράγονται παίρνοντας γινόμενα πρώτων. Ακόμα και η πιο επιπόλαια μελέτη αποκαλύπτει ότι οι πρώτοι αραιώνουν όπως προχωρούμε σε ολοένα μεγαλύτερους αριθμούς. Εγείρεται λοιπόν το ερώτημα: σταματούν κάπου; Δηλαδή υπάρχει κάποιος τελευταίος πρώτος και όλοι οι αριθμοί που τον ακολουθούν είναι σύνθετοι; Ο Ευκλείδης ήταν ο πρώτος που το απάντησε και μάλιστα κατά τον τέλειο τρόπο.
Κανένας ηλεκτρονικός υπολογιστής δεν θα μπορούσε να απαντήσει στο ερώτημα, εφόσον είναι ερώτημα που αφορά το άπειρο. Μόνο ο νους μπορούσε. Εδώ είναι λοιπόν η απόδειξη του Ευκλείδη. Ας υποθέσουμε ότι, τουναντίον, το σύνολο των πρώτων αριθμών είναι πεπερασμένο, επομένως μπορούμε να τους απαριθμήσουμε κατά αύξουσα τάξη, παραλείποντας την μονάδα:

p1• p2• … • pn

Aς εξετάσουμε τότε τον αριθμό

Μ = Π + 1

όπου Π είναι το γινόμενο

Π = p1• p2• … • pn

Εφόσον ο Μ είναι μεγαλύτερος από τον τελευταίο πρώτο, τον pn, πρέπει να είναι σύνθετος αριθμός. Επομένως, ο Μ έχει κάποιον πρώτο παράγοντα, ας πούμε τον q. Άρα ο q είναι ένας από τους
p1, p2, … , pn.
Ωστόσο, εάν q= pk για κάποιο k = 1, …, n, τότε, εφόσον ο q διαιρεί τον Μ και επίσης προφανώς διαιρεί το γινόμενο Π, κατ’ ανάγκη διαιρεί την διαφορά τους, δηλαδή την μονάδα. Τούτο όμως είναι άτοπο. Γιατί κανείς αριθμός, εκτός από την ίδια την μονάδα, δεν διαιρεί την μονάδα, και έχουμε παραλείψει την μονάδα από την παραπάνω απαρίθμηση.
Επομένως, το αντίθετο της αρχικής μας υποθέσεως πρέπει να ισχύει, δηλαδή το σύνολο των πρώτων αριθμών πρέπει να είναι άπειρο.
Όσο απλή κι αν φαίνεται αυτή η απόδειξη, θεωρείται ακόμα ως μια από τις κομψότερες σε όλα τα μαθηματικά. Ας σκεφτούμε τις επαναστάσεις στην ιστορία της σκέψεως που περιέχονται σε αυτό το απλό κομμάτι μαθηματικών.
Πρώτον, ότι ο νους μπορεί να θέσει ένα ερώτημα που αφορά το άπειρο. Δεύτερον, ότι ο νους μπορεί να δώσει την απάντηση κατά έναν καθοριστικό και μη αμφισβητήσιμο τρόπο. Τρίτον, ότι η αλήθεια βρίσκεται δείχνοντας ότι η αντίθετη υπόθεση οδηγεί σε άτοπο. Όλες οι μεγάλες αποδείξεις στα μαθηματικά από την εποχή του Ευκλείδη μέχρι σήμερα έχουν χρησιμοποιήσει την ευκλείδεια μέθοδο της εις άτοπον απαγωγής…»
Μπορεί τα περίπλοκα μαθηματικά και η πυκνότητα του επιστημονικού έργου του Δημήτρη Χριστοδούλου να δυσκολεύουν ακόμη και τους επαγγελματίες φυσικούς να το κατανοήσουν (ο διάσημος γεωμέτρης Shing-Tung Yau παρότρυνε τους νεαρούς συνεργάτες του στο Harvard να μελετήσουν το έργο του Χριστοδούλου, ώστε να το παρουσιάσουν αναλυτικά και κατανοητά στους φυσικούς), όμως το μικρό αυτό βιβλίο μπορεί να διαβαστεί άνετα, χωρίς να χρειάζονται ιδιαίτερες μαθηματικές ικανότητες.
Είναι μια ευκαιρία για το ευρύτερο κοινό να παρακολουθήσει το πως ένας από τους κορυφαίους επιστήμονες στον κόσμο εστιάζει σε δυο από τις πιο σημαντικές μορφές των μαθηματικών, τον Ευκλείδη και τον Αρχιμήδη.
Πηγή