να αποδειχθεί ότι:
[W. Berndt]
και 
, να αποδειχθεί ότι:
▪ Ανισότητες - 52η
Αν a, b και c θετικοί πραγματικοί αριθμοί, τέτοιοι ώστε
να αποδειχθεί ότι:
[T. Q. Anh]
▪ Ανισότητες - 51η
Αν a, b και c μη αρνητικοί πραγματικοί αριθμοί, τέτοιοι ώστε , να αποδειχθεί ότι:
[W. Berndt]
▪ Γεωμετρία - Άσκηση 55
Στο παρακάτω σχήμα, είναι ΑΖ : ΒΖ = ΓΗ : ΕΗ. Να αποδειχθεί ότι: (ΓΖΕ) = (ΑΗΕ) + (ΒΓΗ).
▪ Γεωμετρία - Άσκηση 54
Στο παρακάτω σχήμα είναι ΕΖ = 9, ΖΗ = 1. Να βρεθεί το εμβαδόν της επιφάνειας Ω.
▪Επικαλυπτόμενοι κύκλοι
Ίσοι επικαλυπτόμενοι κύκλοι σχηματίζουν το παρακάτω σχήμα. Δύο από τις τέσσερις χρωματισμένες επιφάνειες έχουν ίσα εμβαδά. Ποιες είναι?
Η Απάντηση
▪ Το παράδοξο του ποδηλάτου
Δένουμε ένα σχοινί στο πηδάλι ενός ποδηλάτου, όπως φαίνεται στην παρακάτω εικόνα. Κάποιος κρατά το ποδήλατο ελαφρά, ώστε να ισορροπεί.
Αν τραβήξουμε το σχοινί προς τα πίσω, τι θα συμβεί? Το ποδήλατο θα κινηθεί προς τα πίσω, προς τα μπρος ή θα μείνει ακίνητο?
"Το πανηγύρι των Μαθηματικών"
Martin Gardner
▪ Ακολουθία STANDART
▪ Φεβρουάριος
Αν καθένας από τρεις διαδοχικούς μήνες έχει 4 Κυριακές, να αποδει-χθεί ότι ένας από αυτούς θα είναι ο μήνας Φεβρουάριος.▪ Ίσα
Γίνεται το γινόμενο έξι διαφορετικών θετικών αριθμών να ισούται με το άθροισμα τους? Αν ναι, εξηγήστε πως?▪ Δυαδικό τετράγωνο
▪ Γεωμετρία - Άσκηση 53
Στο παρακάτω σχήμα, οι τριχοτόμοι των γωνιών του τετραγώνου Κ, Λ, Μ, Ν και Ε, Ζ, Η, Θ. Να αποδειχθεί ότι:
α) το ΕΖΗΘ είναι τετράγωνο
β) το ΚΛΜΝ είναι τετράγωνο
γ) (ΕΖΗΘ) = 3(ΚΛΜΝ).
▪ Μικρο - μεγάλος
Να βρεθεί ένας τριψήφιος αριθμός με διαδοχικά ψηφία, όπως π.χ. ο αριθμός 789, ο οποίος είναι μεγαλύτερος από το τετράγωνο ενός αριθμούς κατά 2 και μικρότερος από τον κύβο ενός αριθμούς επίσης κατά 2.▪ Ίσα ή άνισα?
Δύο τρίγωνα με δύο πλευρές ίσες μία προς μία και τις γωνίες τους ίσες μία προς μία είναι δυνατόν να μην είναι ίσα? Η απάντηση είναι του μαθηματικού Θανάση Ξένου, από το περιοδικό "Εκπαιδευτικοί προβληματισμοί".
▪ Παγκύπριες εξετάσεις 2011
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΑΚΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
2-ΩΡΟ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΣΧΟΛΩΝ
∆ευτέρα, 23 Μαΐου 2011
▪ Άθροισμα V
Αν για τους διαφορετικούς θετικούς ακέραιους αριθμούς a, b, c, … w, x, y, z ισχύουν:
12 + a2 + 22 = 32
b2 + c2 + d2 = 72
e2 + f2 + g2 = 132
42 + h2 + 202 = i2
j2 + k2 + m2 = n2
p2 + q2 + r2 = 432
w2 + x2 + y2 = z2
να υπολογισθεί το άθροισμα 13w + 13x + 15y + 17z.
▪ Άθροισμα IV
Παρατηρήστε ότι:
32 + 42 = 52
102 + 112 + 122 = 132 + 142
212 + 222 + 232 + 242 = 252 + 262 + 272
362 + 372 + 382 + 392 + 402 = 412 + 422 + 432 + 442, κ.τ.λ.
Η πρώτη ισότητα έχει τρεις όρους, η δεύτερη έχει πέντε όρους, η τρίτη έχει επτά όρους και η τέταρτη έχει εννιά όρους.
Αν μία τέτοια ισότητα έχει 2003 όρους και γράφεται:
32 + 42 = 52
102 + 112 + 122 = 132 + 142
212 + 222 + 232 + 242 = 252 + 262 + 272
362 + 372 + 382 + 392 + 402 = 412 + 422 + 432 + 442, κ.τ.λ.
Η πρώτη ισότητα έχει τρεις όρους, η δεύτερη έχει πέντε όρους, η τρίτη έχει επτά όρους και η τέταρτη έχει εννιά όρους.
Αν μία τέτοια ισότητα έχει 2003 όρους και γράφεται:
w2 + ... + x2 = y2 + ... + z2, (όπου, w < ... < x < y < ... < z)
να βρεθεί το άθροισμα w + x + y + z.▪ Άθροισμα ΙΙ
Αν
a + 2b + 3c + 4d = 262
4a + b + 2c + 3d = 123
3a + 4b + c + 2d = 108
2a + 3b + 4c + d = 137.
να υπολογισθεί το άθροισμα 27a+ 28b + 29c + 30d.▪ Γεωμετρία - Άσκηση 51
Στο παρακάτω σχήμα, το Η είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου ΑΒΓ και Β = 600. Αν Μ το μέσο του ΒΗ, να αποδειχθεί ότι:
ΑΔ = 2ΒΗ.
▪ Σπιράλ
Το μεγαλύτερο τετράγωνο, στο εσωτερικό του ορθογωνίου, έχει πλευρά 1. Να βρεθεί το μήκος του κόκκινου σπιράλ, που σχηματίζεται από έξι τεταρτοκύκλια εγγεγραμμένα στα τετρά-γωνα.
▪ Χειροτεχνία
Με ένα τετράγωνο χαρτόνι πλευράς 1 θέλουμε να κατασκευά-σουμε ένα κουτί - με καπάκι - σχήματος ορθογωνίου παραλλη-λεπιπέδου. Να βρεθεί το ύψος του h, ώστε να μεγιστοποιή-σουμε τον όγκο του κουτιού.
▪ Εμβαδόν χωρίου
Στο παρακάτω σχήμα, βλέπουμε τις γραφικές παραστάσεις δύο πολυωνυμικών συναρτήσεων 2ου και 4ου βαθμού, οι οποίες είναι συμμετρικές ως προς τον άξονα ψ΄ψ. Οι δύο καμπύλες εφάπτονται στο σημείο (0, 1/4) και οι εφαπτομένες τους, στο κοινό τους σημείο (1, 0), είναι κάθετες.
Να βρεθεί το εμβαδόν της πράσινης επιφάνειας.
▪ Ιδιαίτερες πράξεις
Αριθμητικές πράξεις με όλα τα ψηφία, χωρίς το 0.
174 + 3 x 58 = 6 x 29
2 x 78 = 4 x 39 = 156
12 + 3 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45
Αριθμητικές πράξεις με όλα τα ψηφία, με το 0.
1 x 26 x 345 = 8.970
2 x 14 x 307 = 8.596
▪ Οφθαλμαπάτη XVIIΙ
Καθώς περιστρέφονται τα τετράγωνα, με τις στρογγυλεμένες γωνίες, το σχήμα φαίνεται να πάλλεται.
▪ Tρίγωνα Kobon
Πόσα τρίγωνα (μη επικαλυπτόμενα) μπορούμε να σχηματίσουμε με n ευθείες?
Το πρόβλημα πρωτοδιατυπώθηκε από τον Kobon Fujimura.
Με 3 ευθείες σχηματίζουμε 1 τρίγωνο:
Το πρόβλημα πρωτοδιατυπώθηκε από τον Kobon Fujimura.
Με 3 ευθείες σχηματίζουμε 1 τρίγωνο:
Με 4 ευθείες σχηματίζουμε 2 τρίγωνα:
Με 5 ευθείες σχηματίζουμε 5 τρίγωνα:
▪ Λουλούδια
Να αναδιατάξετε, τα μέρη των δύο λουλουδιών, κοτσάνια, φύλλα και πέταλα, με τέτοιο τρόπο ώστε να σχηματισθεί ένας κύκλος.
▪ Χρώματα
Να τοποθετηθούν τα 9 ορθογώνια, στην 5x5 σκακιέρα, έτσι ώστε σε κάθε γραμμή και σε κάθε στήλη να υπάρχει ένα μόνο χρώμα.
Η Απάντηση
▪ Γεωμετρία - Άσκηση 50
Στο παρακάτω σχήμα, να αποδειχθεί ότι:
α) το τετράπλευρο ΕΖΗΘ είναι παραλληλόγραμμο
β) (ΑΕΒΖΓΗΔΘ) = 2(ΕΖΗΘ).
α) το τετράπλευρο ΕΖΗΘ είναι παραλληλόγραμμο
β) (ΑΕΒΖΓΗΔΘ) = 2(ΕΖΗΘ).
