Έστω η συνάρτηση
$f(χ) = χ^3 − 3χ + 1$
όπου χ πραγματικός αριθμός.
Να βρεθεί το πλήθος των ριζών της εξίσωσης
Algebra, Geometry, International Mathematical Olympiads, Recreational Mathematics, Math contests, Puzzles, Brainteasers, Number Theory, Combinatorics, Logic, Paradox
Παίρνουμε την παράγωγο της συνάρτησης
ΑπάντησηΔιαγραφήf'(x)=3x^2-3
που έχει ρίζες το -1 και το 1 που είναι και τοπικό μέγιστο και ελάχιστο αντίστοιχα με f(-1)=3 και f(1)=-1. Άρα παρατηρούμε ότι η f μηδενίζει για μια τιμή κάτω από -1, για μια τιμή ανάμεσα στο -1 και στο 1 και για μια τιμή πάνω από 1 αλλά κάτω από 2 γιατί f(2)=3. Άρα θέλουμε το f(x) να ισούται με μια τιμή κάτω από -1, με μια τιμή ανάμεσα στο -1 και στο 1 και με μια τιμή πάνω από 1. Δηλαδή οι επιλογές είναι f(x)<-1 , -11 αλλά f(x)<2 έτσι ώστε το f(f(x)) να μηδενίζει. Στην πρώτη περίπτωση έχουμε μια μόνο λύση για την f(f(x)), στην δεύτερη και στην τρίτη περίπτωση έχουμε 3 λύσεις αντίστοιχα για την f(f(x)). Άρα συνολικά η εξίσωση f(f(x))=0 έχει 7 λύσεις
Επειδή γράφω από κινητό χάθηκε ένα κομμάτι και δεν το πρόσεξα! Εννοούσα οι επιλογές είναι η f να ισούται με έναν αριθμό κάτω από -1, η f να ισούται με έναν αριθμό μεταξύ -1 και 1 και τέλος η f να ισούται με έναν αριθμό μεταξύ 1 και 2.
ΑπάντησηΔιαγραφή